Über Theorien von angeordneten abelschen Gruppen

Thomas Friedrich 10. Dezember 1997

Seminar über Formale Logik Universität zu Köln

Definition: (Verknüpfung) Ist G ≠ ∅ eine Menge und + : G^{2} ⟶ G eine Abbildung, so heißt + eine Verknüpfung auf G. Für (x, y) ∈ G^{2} schreibe x + y statt +(x, y).

Definition: (Gruppe, abelsche Gruppe) Ist G ≠ ∅ eine Menge mit einer Verknüpfung +, so heißt G eine Gruppe, wenn in G die folgenden Gruppenaxiome gelten:

(G1) ∀ x, y, z (x + y) + z = x + (y + z) (Assoziativität)

(G2) ∀ x x + 0 = x (rechtsneutr. Element) (G3) ∀ x ∃ y x + y = 0 (Existenz eines Inversen)

Das Inverse y zu x gemäß (G3) wird auch mit −x bezeichnet. Erfüllt G zusätzlich noch

(G4) ∀ x, y x + y = y + x (Kommutativität),

so heißt G abelsche Gruppe.

Definition: (partielle Ordnung, lineare Ordnung) Gelten in einer Gruppe G die Axiome

(O1) ∀ x  ¬ x < x  (Nicht-Reflexitivität)
(O2) ∀ x, y, z (x < y ∧ y < z → x < z) (Transitivität),

ist auf G also eine partielle Ordnung < definiert, so heißt G eine (partiell) angeordnete Gruppe. Gilt in G zusätzlich

(O3) ∀ x, y (x < y ∨ x = y ∨ y < x) (Vergleichbarkeit)

ist G sogar linear angeordnet oder auch totalgeordnet.

Definition: (diskrete Ordnung, dichte Ordnung) Ist G eine angeordnete abelsche Gruppe, und besitzt G ein kleinstes positives Element, gilt in G also

(DO) ∃ x (0 < x ∧ ∀ y (0 < y → x = y ∨ x < y)),

so heißt G diskret angeordnet. Ein Beispiel hierfür ist ZZ mit der üblichen Ordnung: hier ist die 1 das kleinste positive Element. Besitzt G kein kleinstes positives Element, so heißt G dicht geordnet; es gilt also

(O4) ∀ x, y (x < y → ∃ z (x < z ∧ z < y)),

denn aus a < b und 0 < c < (b − a) folgt natürlich a < c + a < b.

G heißt torsionsfrei, falls für alle n ≥ 1 in G

(G5)_{n} ∀ x  (nx = 0 → x = 0)  (Torsionsfreiheit)

gilt, wobei nx die n-fache Summe x + x + … + x bezeichnet.

Definition: (Divisibilität) Eine Gruppe G heißt divisibel, falls in G für alle n ≥ 1 das Axiom

(G6)_{n} ∀ x ∃ y ny = x (Divisibilität)

erfüllt ist. Eine divisible Gruppe kann nicht diskret geordnet sein, da das kleinste positive Element dann nicht mehr teilbar wäre.

Bemerkung: Die divisible Hülle G̃ einer angeordneten Gruppe G, also eine minimale divisible Gruppe, die G enthält, kann man wie folgt (analog zur Konstruktion von Qaus ZZ) erhalten:

Wir betrachten dabei Paare (a, n) mit a ∈ |G| und n ∈ IN\{0}. In Q ist dies vergleichbar mit Quotienten \frac{a}{n}; analog dazu sind zwei Paare (a, n) und (a′, n′) zueinander äquivalent, falls n′a = na′ ist.

Definieren wir nun noch die Addition durch

(a, n) + (a′, n′) = (n′a + na′, nn′)

und die Anordnung durch

(a, n) < (a′, n′) gdw. n′a < na′,

so sieht man ein, daß die Äquivalenzklassen solcher Paare eine divisible angeordnete abelsche Gruppe G̃ bilden (man denke hierbei wieder an Q).

G selbst läßt sich mittels a ↦ (a, 1) in G̃ einbetten.

Nun ist G̃ eine divisible Erweiterung von G, und es gilt: zu jedem b ∈ |G̃| gibt es a ∈ |G| und n ∈ IN\{0} mit nb = a. Mit dieser Eigenschaft ist G̃ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Im folgenden betrachten wir die Theorie der angeordneten abelschen Gruppen mit den Axiomen

(G1) ∀ x, y, z (x + y) + z ≐ x + (y + z)
(G2) ∀ x x + 0 ≐ x
(G3) ∀ x ∃ y x + y ≐ 0
(G4) ∀ x, y x + y ≐ y + x
(O1) ∀ x ¬ x < x
(O2) ∀ x, y, z (x < y ∧ y < z → x < z)
(O3) ∀ x, y (x < y ∨ x ≐ y ∨ y < x)
(OG) ∀ x, y, z (x < y → x + z < y + z)
(O5)’ ∃ x x ≐ 0̸

und die Theorie der divisiblen angeordneten abelschen Gruppen, in denen zusätzlich für n ≥ 1

(G6)_{n} ∀ x ∃ y ny ≐ x

gilt, wobei ∀ x, y, z Abkürzung für ∀ x ∀ y ∀ z, nx Abkürzung für die n-fache Summe x + x + … + x und ≐ als Identität interpretiert ist.

Definition: (Modellvollständigkeit, Modellbegleiter) Eine Menge Σ ⊂ Aus(L) heißt modellvollständig, falls für jedes Modell A von Σ die L(A)-Aussagenmenge Σ ∪ D(A) vollständig ist, wobei D(A) das Diagramm von A ist. Ein Axiomensystem Σ^{∗} ⊂ Aus(L) heißt Modellbegleiter von Σ, falls gilt:

(i) jedes Modell von Σ^{∗} ist auch Modell von Σ,

(ii) jedes Modell von Σ läßt sich zu einem Modell von Σ^{∗} erweitern,

(iii) Σ^{∗} ist modellvollständig.

Satz 4.1: Die Theorie der divisiblen angeordneten abelschen Gruppen erlaubt Quantorenelimination und ist vollständig und modellvollständig.

Beweis: Quantorenelimination: Seien G_{1} und G_{2} divisible angeordnete abelsche Gruppen mit gemeinsamer Substruktur H. Da es keine Inversenbildung in unserer Sprache gibt, ist H lediglich Semigruppe; es gelten aber die Kürzungsregeln x+z ≐ y+z → x ≐ y und x + z < y + z → x < y. In G_{1} und G_{2} sind die Inversen eindeutig bestimmt. Deshalb sind die in G_{1} und G_{2} durch H erzeugten angeordneten Untergruppen zueinander isomorph. Das gilt auch noch für ihre divisiblen Hüllen - wir können diese deshalb mit H̃ identifizieren. (H̃ kann auch die triviale Gruppe sein.)

Für eine einfache Existenzaussage ∃ x δ der Sprache L(H) nehmen wir jetzt G_{1} ⊧ ∃ x δ an und zeigen G_{2} ⊧ ∃ x δ. Dann können wir mit Satz 3.20 (1)⇔(3) auf die Quantorenelimination schließen.

O. B. d. A. liegt δ in disjunktiver Normalform vor, d. h.

δ = (δ_{1} ∨ … ∨ δ_{m}),

wobei die δ_{ν} Konjunktionen von Primformeln und negierten Primformeln der Sprache L(H) sind mit einziger freier Variablen x. Wir können noch einige Vereinfachungen in δ vornehmen: wir ersetzen für Terme t_{1}, t_{2} die Formeln

¬(t_{1} ≐ t_{2}) durch (t_{1} < t_{2} ∨ t_{2} < t_{1})
¬(t_{1} < t_{2}) durch (t_{2} < t_{1} ∨ t_{1} ≐ t_{2})

und haben damit alle Negationen entfernt. Für geordnete Gruppen ist das nach Axiom (O3) eine äquivalente Ersetzung. Das Ergebnis bringen wir wieder in disjunktive Normalform.

Da ∃ x (δ_{1} ∨ … ∨ δ_{m}) logisch äquivalent ist zu ∃ x δ_{1} ∨ … ∨ ∃ x δ_{m}, genügt es, nur ein einziges ∃ x δ_{ν} zu betrachten. δ_{ν} ist nach Umordnung von der Gestalt

⋀_{i=1}^{r} n_{i}x + \underline{a_{i}} ≐ n′_{i}x + \underline{a′_{i}} ∧ ⋀_{j=1}^{s} m_{j}x + \underline{b_{j}} < m′_{j}x + \underline{b′_{j}},

wobei wir evtl. neue Konstanten eingeführt und Ausdrücke der Form \underline{a} + \underline{b} durch \underline{a + b} ersetzt haben. Der Fall r = 0 oder s = 0 ist erlaubt. Alle Konstanten \underline{a} gehören zu Elementen a ∈ |H|.

δ_{ν} ist in G_{1} erfüllt. Ist nun für eine Gleichung n_{i} ≠ n′_{i}, so ist das x, das δ_{ν} in G_{1} erfüllt, eindeutig bestimmt und liegt schon in H̃, da δ_{ν} Formel über L(H) ist. Damit haben wir H̃ ⊧ ∃ x δ_{ν} und somit auch G_{2} ⊧ ∃ x δ_{ν}.

Sind alle Gleichungen trivial, d. h. n_{i} = n′_{i} für 1 ≤ i ≤ r, oder ist r = 0, dann erfüllt jedes Element aus G_{1} und somit auch jedes aus H̃ alle Gleichungen (es gilt dann für alle 1 ≤ i ≤ r : a_{i} = a′_{i}); ein Element d aus G_{1} erfüllt die Formel δ_{ν} also genau dann, wenn es den Ungleichungsteil ebenfalls erfüllt. Dies heißt aber genau

(m_{j} − m′_{j}) d < b′_{j} − b_{j} für alle 1 ≤ j ≤ s.

Gibt es ein solches Element in G_{1}, dann auch in H̃, wenn H̃ nicht die triviale Gruppe ist. Es gilt also wieder H̃ ⊧ ∃ x δ_{ν} und somit G_{2} ⊧ ∃ x δ_{ν}.

Ist nun H̃ die triviale Gruppe, so sind alle b_{j} = b′_{j} = 0; jetzt behauptet ∃ x δ_{ν} lediglich die Existenz eines positiven bzw. negativen Elements. Wegen (O5)’ gilt dies natürlich auch in G_{2}.

Modellvollständigkeit: Die Modellvollständigkeit folgt unmittelbar aus der Quantorenelimination.

Vollständigkeit: Da die triviale Gruppe (|G|; <; +; 0) := ({0}; ∅; +; 0) mit 0+0=0 eine Primsubstruktur ist (jede Gruppe enthält ein isomorphes Bild der trivialen Gruppe), folgt die Vollständigkeit mit Korollar 3.21. Beachte: ({0}; ∅; +; 0) ist kein Primmodell, da ∃ x x ≐ 0̸ nicht erfüllt ist.

q. e. d.

Korollar 4.2: Die Theorie der divisiblen angeordneten abelschen Gruppen ist der Modellbegleiter der Theorie der angeordneten abelschen Gruppen.

Beweis: Modellbegleiter:

(i) Jede divisible angeordnete abelsche Gruppe ist insbesondere angeordnete abelsche Gruppe.

(ii) Jede angeordnete abelsche Gruppe ist wie oben beschrieben in ihre divisible Hülle einbettbar.

(iii) Die Theorie der divisiblen angeordneten abelschen Gruppen ist modellvollständig nach Satz 4.1.

q. e. d.

Für die weiteren Betrachtungen empfiehlt es sich, für das kleinste positive Element in diskret angeordneten Gruppen eine Konstante zur Sprache hinzuzunehmen: die 1.

Definition: (ZZ-Gruppe) Eine diskret angeordnete abelsche Gruppe, die zusätzlich für alle n ≥ 1

(D)_{n} ∀ x ∃ y (⋁_{ν=1}^{n} x + ν1 = ny)

erfüllt, heißt eine ZZ-Gruppe. Später werden wir sehen, daß ZZ Primmodell dieser Klasse von Gruppen ist.

Wir betrachten also im folgenden die Theorie der ZZ-Gruppen, die sich (in der Sprache mit \underline{1}) wie folgt axiomatisieren läßt:

(G1) ∀ x, y, z (x + y) + z ≐ x + (y + z)
(G2) ∀ x x + 0 ≐ x
(G3) ∀ x ∃ y x + y ≐ 0
(G4) ∀ x, y x + y ≐ y + x
(O1) ∀ x ¬ x < x
(O2) ∀ x, y, z (x < y ∧ y < z → x < z)
(O3) ∀ x, y (x < y ∨ x ≐ y ∨ y < x)
(OG) ∀ x, y, z (x < y → x + z < y + z)
(DO) ∃ x (0 < x ∧ ∀ y (0 < y → x ≐ y ∨ x < y))

sowie für alle n ≥ 1

(D)_{n} ∀ x ∃ y (⋁_{ν=1}^{n} x + ν\underline{1} ≐ ny)

Satz 4.3: Die Theorie der ZZ-Gruppen ist modellvollständig und vollständig.

Beweis: Modellvollständigkeit: Die Modellvollständigkeit werden wir über den Umweg der Quantorenelimination in einer passenden Spracherweiterung zeigen.

Sei L die Sprache, in der die Theorie der ZZ-Gruppen axiomatisiert ist. Diese Sprache erweitern wir durch Hinzunahme von einstelligen Relationen R_{n} für n ≥ 2 (o. B. d. A. sind die R_{n} wirklich neue Relationen).

Das Axiomensystem Σ für ZZ-Gruppen erweitern wir um die Axiome

(A)_{n} ∀ x (R_{n}(x) ↔ ∃ y x ≐ ny)

zu Σ′. Die Relation R_{n} drückt also die Teilbarkeit durch n aus. Damit lassen sich die Axiome (D)_{n} umformulieren in

(D)′_{n} ∀ x ⋁_{ν=1}^{n} R(x + ν\underline{1}).

Die Restriktionen von Modellen von Σ′ auf L sind gerade die ZZ-Gruppen.

Die Substrukturbeziehung zwischen Modellen A und B von Σ ändert sich nicht, wenn wir diese durch die Interpretationen der neuen Relationen R_{n} gemäß den Axiomen (A)_{n} zu Σ′-Modellen A′ und B′ erweitern: gilt nämlich für a ∈ |A| in B

a ≡ ν mod n,

ist also a − ν1 in B durch n teilbar, so gilt dies auch in A, da a auch hier zu einem ν′ modulo n kongruent ist; dies muß zwangsläufig das ν sein.

Weiterhin sei zu L′ noch eine einstellige Funktion hinzugenommen, die wir als die Inversenbildung interpretieren. Σ′ enthalte deswegen noch das (Körper-) Axiom

(K3) ∀ x x + (−x) ≐ 0.

Auch dadurch ändert sich die Substrukturbeziehung zwischen Modellen nicht.

Die Quantorenelimination beweisen wir nun direkt per Induktion über den Formelaufbau; d. h. wir benutzen nicht Satz 3.20. Dabei soll α modulo Σ′ äquivalent zu β heißen, wenn Σ′ ⊢ (α ↔ β). Induktionsanfang: klar; jede Primformel ist quantorenfrei. Induktionsschluß: Die Fälle φ = ¬ δ_{1} und φ = δ_{1} ∧ δ_{2} sind uninteressant, da mit δ_{1} und δ_{2} natürlich auch φ quantorenfrei ist. Sei also nun φ = ∃ x δ. Wir können ein unnegiertes Vorkommen der Relationen R_{n}(t) in δ annehmen; wegen (D)′_{n} können wir nämlich ¬R_{n}(t) modulo Σ′ äquivalent durch

R_{n}(t + \underline{1}) ∨ … ∨ R_{n}(t + (n − 1)\underline{1})

ersetzen. Ferner ersetzen wir Negationen von t_{1} ≐ t_{2} und t_{1} < t_{2} wie im Beweis zu Satz 4.1.

Bringen wir δ dann in disjunktive Normalform und verteilen den Existenzquantor (logisch äquivalent) auf die einzelnen Disjunktionsglieder, so brauchen wir uns wieder nur um ein einziges δ_{ν} kümmern (vgl. Beweis von Satz 4.1), das nach Umordnung von der Gestalt

⋀_{i=1}^{r} m_{i}x ≐ t_{i} ∧ ⋀_{i=1}^{r′} m′_{i}x < t′_{i} ∧ ⋀_{i=1}^{r′′} m′′_{i}x ≡ t′′_{i} mod n_{i}

ist, wobei m_{i}, m′_{i}, m′′_{i} ∈ ZZ sind und

m′′_{i}x ≡ t′′_{i} mod n_{i} für R_{n_{i}}(m′′_{i}x + (−t′′_{i}))

steht. Die Fälle r = 0, r′ = 0 oder r′′ = 0 sind erlaubt.

Durch Multiplikation mit passenden ganzen Zahlen ≠ 0 können wir erreichen, daß alle Koeffizienten m_{i}, m′_{i} und m′′_{i} gleich einer einzigen Zahl m sind; im Falle einer Kongruenz muß der Modul n_{i} mitmultipliziert werden. Durch Multiplikation mit negativen Zahlen drehen sich evtl. Ungleichungen um. Wir können also davon ausgehen, daß δ_{ν} die Form

⋀_{i=1}^{r} mx ≐ t_{i} ∧ ⋀_{i=1}^{r^{+}} mx < t_{i}^{+} ∧ ⋀_{i=1}^{r^{−}} mx > t_{i}^{−} ∧ ⋀_{i=1}^{r′′} mx ≡ t′′_{i} mod n_{i}

hat. Ersetzen von mx durch y und Hinzufügen der Bedingung y ≡ 0 mod m ist wiederum eine modulo Σ′ äquivalente Umformung. So können wir schließlich annehmen, δ_{ν} habe die Gestalt (schreibe wieder x für y):

⋀_{i=1}^{r} x ≐ t_{i} ∧ ⋀_{i=1}^{r^{+}} x < t_{i}^{+} ∧ ⋀_{i=1}^{r^{−}} x > t_{i}^{−} ∧ ⋀_{i=1}^{r′′} x ≡ t′′_{i} mod n_{i}

Nun gibt es die folgenden vier Fälle:

1.) r > 0. Es kommt also mindestens eine Gleichung x = t_{1} vor. Dann ist ∃ x δ_{ν} aber zu

⋀_{i=2}^{r} t_{1} ≐ t_{i} ∧ ⋀_{i=1}^{r^{+}} t_{1} < t_{i}^{+} ∧ ⋀_{i=1}^{r^{−}} t_{1} > t_{i}^{−} ∧ ⋀_{i=1}^{r′′} t_{1} ≡ t′′_{i} mod n_{i}

modulo Σ′ äquivalent, und somit der Quantor eliminiert.

2.) r = 0, aber r^{+} ≥ 1. D. h. es kommt mindestens eine Ungleichung x < t_{1}^{+} vor. Nun ist mit x aber auch x + ln für alle l ∈ ZZ eine Lösung des Systems

x ≡ t′′_{i} mod n_{i} (1 ≤ i ≤ r′′),

falls n das kleinste gemeinsame Vielfache der n_{1}, …, n_{r′′} ist. Mit

t^{+} := min{t_{i}^{+} | 1 ≤ i ≤ r^{+}}

können wir x dann aus der Menge

{t^{+} − 1, t^{+} − 2, …, t^{+} − n}

wählen. Damit läßt sich ∃ x δ_{ν} modulo Σ′ äquivalent schreiben als

⋁_{k=1}^{r^{+}} ⋁_{j=1}^{n} (⋀_{i=1}^{r^{+}} t_{k}^{+} ≤ t_{i}^{+} ∧ ⋀_{i=1}^{r^{−}} t_{i}^{−} < t_{k}^{+} − j ∧ ⋀_{i=1}^{r′′} t_{k}^{+} − j ≡ t′′_{i} mod n_{i}) .

3.) r = 0, r^{+} = 0, aber r^{−} ≥ 1. Analog zu 2.) mit t^{−} := max{t_{i}^{−} | 1 ≤ i ≤ r^{−}} und Betrachtung von x aus der Menge {t^{−} + 1, t^{−} + 2, …, t^{−} + n} läßt sich ∃ x δ_{ν} modulo Σ′ äquivalent schreiben als

⋁_{k=1}^{r^{−}} ⋁_{j=1}^{n} (⋀_{i=1}^{r^{−}} t_{i}^{−} ≤ t_{k}^{−} ∧ ⋀_{i=1}^{r′′} t_{k}^{−} + j ≡ t′′_{i} mod n_{i}) .

4.) r = 0, r^{+} = 0, r^{−} = 0, aber r′′ ≥ 1. Mit n wie in 2.) als kleinstes gemeinsames Vielfaches der n_{1}, …, n_{r′′} ist ∃ x δ_{ν} modulo Σ′ äquivalent zum quantorenfreien Ausdruck

⋁_{j=1}^{n} (⋀_{i=1}^{r′′} j ≡ t′′_{i} mod n_{i}) .

Damit erlaubt Σ′ Quantorenelimination und ist deshalb modellvollständig. Da sich die Substrukturbeziehung bei der Erweiterung von Σ zu Σ′ nicht geändert hat, ergibt sich daraus die Modellvollständigkeit von Σ.

Vollständigkeit: Jedes Modell der ZZ-Gruppen enthält 0, 1 und +. Hierdurch wird aber bereits ZZ erzeugt; ZZ ist also ein Primmodell. Zusammen mit der eben gezeigten Modellvollständigkeit folgt mit Korollar 3.12 die Vollständigkeit.

q. e. d.

Korollar 4.4: Die Theorie der ZZ-Gruppen ist (in der Sprache mit \underline{1}) der Modellbegleiter der Theorie der diskret angeordneten abelschen Gruppen.

Beweis: Modellbegleiter: Unter Verwendung von Satz 4.3 bleibt zu zeigen, daß sich jede diskret angeordnete abelsche Gruppe G zu einer ZZ-Gruppe erweitern läßt.

G ist diskret angeordnet, aber i. a. keine ZZ-Gruppe (also zu klein). G̃ ist nicht mehr diskret angeordnet (also zu groß). Sei H eine maximale Erweiterung von G in G̃, so daß 1^{G} in H immer noch minimal positiv ist. Die Existenz von H sichert uns das Lemma von Zorn.

Zu zeigen ist: zu jedem n ≥ 2 und jedem a ∈ H gibt es ein 0 ≤ r < n (”Divisionsrest beim Teilen durch n“). Dann ist gezeigt, daß H eine ZZ-Gruppe ist.

Sei dazu a ∈ H beliebig, n ≥ 2 und

n = ∏_{i=1}^{k} p_{i} ^{μ_{i}}

die (eindeutige) Zerlegung von n in Primfaktoren.

Sei p ∈ {p_{1}, …, p_{k}} Primzahl. Ist a nicht durch p teilbar, so kann die Erweiterung H + ZZ \frac{a}{p} von H nicht mehr 1^{G} als minimales positives Element haben. Also gibt es b ∈ H und m ∈ ZZ mit m teilerfremd zu p und

0 < b + m\frac{a}{p} < 1.

(Im folgenden schreiben wir für n1^{G} einfach n.) Hieraus folgt

0 < pb + ma < p.

Wegen der Teilerfremdheit von m und p gibt es nach Euklid s, t ∈ ZZ mit

sp + tm = 1.

Sei zunächst 0 < t. Dann erhalten wir insgesamt

0 < tpb + (1 − sp)a < pt

bzw. nach Umordnung

0 < p(tb − sa) + a < pt.

H ist diskret geordnet; deshalb gibt es r ∈ ZZ mit

p(tb − sa) + a = r.

Dies folgt jedoch auch für t < 0. Also ist

a − r = pa_{1}

für ein a_{1} ∈ H. Für dieses a_{1} und einen weiteren Primfaktor q ∈ {p_{1}, …, p_{k}} von n läßt sich dieser Prozeß wiederholen, etwa

a_{1} − r_{1} = qa_{2}

für ein a_{2} ∈ H und r_{1} ∈ ZZ, usw. Insgesamt gibt es also ein r ∈ ZZ mit

a − r ∈ nH;

o. B. d. A. kann man dabei 0 ≤ r < n wählen. Dies war zu zeigen.

q. e. d.

Bemerkung: Die Theorie der ZZ-Gruppen läßt sich auch ohne die Hinzunahme der neuen Konstanten \underline{1} axiomatisieren; dabei muß lediglich die \underline{1} implizit beschrieben werden. Die Axiome der ZZ-Gruppen in der Sprache der angeordneten Gruppen - also ohne die \underline{1}- sind dann die oben genannten Axiome für diskret angeordnete abelsche Gruppen zusammen mit

(D^{−})_{n} ∀ u (0 < u ∧ ∀ y (0 < y → u ≐ y ∨ u < y) → (D)_{n}[1/u]),

wobei u die \underline{1} beschreibt und [1/u] besagt, daß in (D)_{n} das Symbol \underline{1} durch u ersetzt werden soll. In jedem Modell dieses Axiomensystems Σ gibt es ein kleinstes positives Element: die Interpretation der \underline{1} in der erweiterten Sprache.

ZZ und 2ZZ sind beides Modelle von Σ, wobei 2ZZ Substruktur von ZZ ist. Erweitern wir die Sprache nun um die \underline{1}, gilt dies nicht mehr: in 2ZZ muß das kleinste positive Element \underline{1} mit der 2 interpretiert werden, um eine ZZ-Gruppe zu erhalten. Dies ist ein Beispiel dafür, daß sich bei Spracherweiterung die Substrukturbeziehung ändern kann.

Aus Satz 4.3 folgt auch die Vollständigkeit der Theorie ohne \underline{1}. Damit haben wir auch ein Beispiel einer vollständigen Theorie, die nicht modellvollständig ist, da zwar 2ZZ ⊂ ZZ, nicht aber 2ZZ ≺ ZZ gilt.

Zitate der verwendeten Sätze und Korollare:

Korollar 3.12: Die Menge Σ ⊂ Aus(L) sei modellvollständig und besitze ein Primmodell. Dann ist Σ vollständig.

Satz 3.20: Für Σ ⊂ Aus(L) sind äquivalent:

(1) Σ erlaubt Quantorenelimination,

(2) Σ ∪ D(A) ist vollständig für jede Substruktur A eines Modells von Σ,

(3) für je zwei Modelle B_{1} und B_{2} von Σ mit einer endlich erzeugten Substruktur A und jede einfache Existenzaussage φ der Sprache L(A) gilt:

(B_{1}, |A|) ⇝^{φ} (B_{2}, |A|).

Korollar 3.21: Erlaubt Σ ⊂ Aus(L) Quantorenelimination und besitzt Σ eine Primsubstruktur, so ist Σ vollständig.

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